Son varios los casos de FACTORIZACIÓN , en esta sección se
detallara cada uno de ellos.
CASO I .- FACTOR COMÚN
Consiste en sacar factor común, se aplica en binomios,
trinomios y polinomios de cuatro términos o más. No aplica para monomios.
Cómo realizar la factorización:
1. Buscamos el factor común se extrae (Máximo Común
Divisor) de ellos
2. Se expresa el polinomio dado como el producto del factor
común por el polinomio que resulta de dividir el polinomio dado por el factor
común.
EJEMPLOS:
EJEMPLO 1: (factor común entre los números)
8a - 4b + 16c + 12d = 4. (2a - b + 4c + 3d)
EJEMPLO 2: (factor común entre las letras)
7x2 + 11x3 - 4x5 + 3x4
- x8 = ´
x2. (7 + 11x - 4x3 + 3x2 - x6)
EJEMPLO 3: (factor común entre los números y entre las
letras)
9x3 - 6x2 + 12x5 - 18x7 =
3x2. (3x - 2 + 4x3 - 6x5)
EJEMPLO 4 (Confracciones)
4/3 x - 8/9 x3 + 16/15 x7
=
2/3 x(2 - 4/3 x2 + 8/5 x6 )
EJEMPLO 5: (Con varias letras diferentes)
9x2ab - 3xa2b3 + x2az =
xa. (9xb - 3ab2 + xz)
CASO II.- FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINOS
Se llama factor común por agrupación de términos, si los
términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor
común diferente en cada grupo. Se aplica en polinomios que tienen 4, 6, 8 o más
términos (siempre que el número sea par) y donde ya se ha verificado que no hay
factor común
Cómo realizar la factorización:
1.- Se forman grupos de igual cantidad de términos que
tengan factor común, se sustrae dicho factor común en cada uno de los grupos.
2.- Debe quedar un paréntesis común.
3.- Se extrae dicho paréntesis como factor común
EJEMPLOS
EJEMPLO 1: (Todos los términos son positivos)
4a + 4b
+ xa + xb =
4.(a + b) + x.(a + b) =
a + b).(4 + x)
EJEMPLO 2: ("Resultado desordenado")
4a + 4b +
xb + xa =
4.(a + b) + x.(b + a)
=
4.(a + b) + x.(a + b)
=
(a + b).(4 + x)
EJEMPLO 3: (Con términos negativos y "Resultado
desordenado")
4a - 4b
- xb + xa =
4.(a - b) + x.(-b + a) =
4.(a - b) + x.(a - b) =
(a - b).(4 + x)
CASO III - TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos
tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de
las raíces del primero por el segundo. El trinomio debe estar organizado en
forma ascendente o descendente (cualquiera de las dos).
NOTA:
Si el doble producto que figura en el ”Trinomio dado” es
positivo, entonces las bases del Cuadrado del Binomio tendrán las dos el mismo
signo.
Si el doble producto que figura en el ”Trinomio dado” es
negativo, entonces las bases del Cuadrado del Binomio tendrán signos opuestos.
Cómo realizar la factorización:
1.- Se reconocen los cuadrados perfectos, los cuales no
deben tener un signo negativo adelante. Y calculo sus raíces cuadradas, dichas
raíces serán las bases.
2.-Luego calculo el doble producto de sus bases; y luego nos
fijamos si se verifica que el doble producto figura en el trinomio dado.
3.- Si el doble producto figura en el trinomio dado,
entonces decimos que es un Trinomio Cuadrado Perfecto; y luego lo factorizo
como el cuadrado de un binomio, formado por dichas bases.
EJEMPLOS:
EJEMPLO 1: (Términos positivos)
x2 + 6x
+ 9 = (x + 3)2
x 3
2.3.x
6x
EJEMPLO 2: (Con el "1")
x2 + 2x + 1 = (x + 1)
2x 1
2.1.x
2x
EJEMPLO 3: (Con un término negativo)
x2 - 10x
+ 25 = (x - 5)
2x
(-5)
2.(-5).x
-10x
EJEMPLO 4: (Con un número multiplicando a la x2)
9x2 + 30x
+ 25 = (3x + 5)2
3x 5
2.5.3x
30x
EJEMPLO 5: (Con potencias diferentes a "2")
x6 + 10x3
+ 25 = (x3 + 5)2
x3 5
2.x3.5
10x3
CASO IV - DIFERENCIA DE CUADRADOS
"Diferencia de Cuadrados" hace referencia a una
"Resta de cuadrados". Más precisamente, una resta de dos cuadrados.Se
aplica solamente en binomios, donde el primer término es positivo y el segundo
término es negativo.
Se reconoce porque los coeficientes de los términos son
números cuadrados perfectos (es decir números que tienen raíz cuadrada exacta
Cómo realizar la factorización:
1.- Debo identificar la resta (debe haber un solo signo
negativo) y luego los cuadrados perfectos.
2.- Calculo las bases de los cuadrados perfectos (haciendo
la raíz cuadrada de cada uno).
3.- Transformo la diferencia de cuadrados en un producto de
binomios conjugados, formado por dichas bases.
EJEMPLOS:
EJEMPLO 1: (Fácil)
x2 - 9 = (x + 3).(x - 3)
x 3
EJEMPLO 2: (Con dos letras)
x2 - y2 = (x + y).(x - y)
x y
EJEMPLO 3: (Con potencias distintas de 2)
x6 - 4 = (x3 + 2).(x3 - 2)
x3 2
EJEMPLO 4: (Con términos "compuestos")
36x2 - a6b4 = (6x + a3b2).(6x - a3b2)
6x a3b2
Caso IV –CUATRINOMIO CUBO PERFECTO
Cuadrinomio se le llama a cualquier polinomio que tiene 4
términos. Y "Cubo Perfecto", porque viene de elevar al cubo un
binomio
1.-Se reconocen los cubos perfectosY calculo sus raíces
cúbicas, dichas raíces serán las bases
EJEMPLOS:
EJEMPLO 1: (Todos los términos son positivos)
CASO V- TRINOMIO DE LA FORMA X2 + BX +
C
En este caso se tienen 3 términos: El primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, o sea sin una parte literal, así:
Cómo realizar la factorización:
- Se factoriza el polinomio así:
- Para
terminar dividimos estos términos por el coeficiente del término x2
- EJEMPLOS:
CASO VI- TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO
Tiene que ser un polinomio completo de segundo grado en una sola letra, es
decir:
Tiene que tener 3 términos ("trinomio"), cada uno de distinto
grado (2, 1 y 0), siendo 2 el grado más alto.
Debe tener un solo tipo de letra y no varias (todas "x" por
ejemplo)
CASO VII - CUBO PERFECTO DE TETRANOMIOS
Teniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que:
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